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讀者從上次的遊戲中應該可以看出，一開始所列出的一些規則，其實就是加法與乘法的規則。而我為了避免讀者受到既有思維的影響，將常用的符號完全取代成新的符號，才能夠更幫助理解這個課題。
接下來，我們繼續探討自然數N 所存在的一些特性。與上次一樣，我們不會使用常見的符號：
1. Order Structure
我們假定存在一些符號在╳中：
╳：{α, β, γ, δ, ε, ζ, η, θ, ☻, ☼}
這些符號是有排序的，比如β 在α 的後面；η在θ 的前面。
如果一個符號在另一個之前，我們稱之為 →：η→θ
如果一個符號在另一個之後，我們稱之為 ←：β←α
如果一個符號跟另一個在一樣位置，我們稱之為 =：α = α
O1：
對於任何兩個在X內的符號，下列其中之一必然正確：
1. α = β
2. β←α
3. β→α
意思：兩個符號要不然等於自己，否則必然有先後次序之分。
O2：
對於三個在X內的符號，如果β←α，γ←β，則 γ←α。
意思：符號的次序是有傳遞性的。
O3：
對於任何兩個在X內的符號，如果β←α，則β★γ←α★γ
意思：將★的運算子與→ / ← 連結，意思是將兩邊同時做以★處理並不影響符號的次序。
O4：
對於任何兩個在X內的符號，如果β←α，則β♥γ←α♥γ，如果γ←☻
意思：將♥的運算子與→ / ← 連結，意思是將兩邊同時做以♥處理並不影響符號的次序，如果♥←☻成立的話。
O4 似乎並不像我們平時直覺般如此明顯。我們嘗試證明O4。
反證法
假設☻←γ ，且β←α 則 β♥γ←α♥γ ...(*)
因此
☻←γ
☻♥☻←☻♥γ ................(*)
☻←☻............................(2)
因此若☻←γ，則「β←α 則 β♥γ←α♥γ」無法成立。
2. Bounds
Upper Bounds
設￠為╳之中的一個子集。如果於￠中的任意符號α 全部符合
α→ζ，或
α = ζ
那麼符號ζ 就是￠的Upper Bound 。
Lower Bounds
設￡於╳之中的一個子集。如果於￡中的任意符號β 全部符合
β→ε，或
β = ε
那麼符號ε 就是￡的Lower Bound 。
3. Maximum and Minimum
Maximum
設￠為╳之中的一個子集。如果ζ 在￠之中且
α→ζ，或
α = ζ
那麼符號ζ 就是￠的Maximum。
Minimum
設￡於╳之中的一個子集。如果ε 在￡之中且
β→ε，或
β = ε
那麼符號ε 就是￡的Minimum。
到底 (2) 跟 (3) 的分別在哪呢？
在於 Max/Min 的符號需要自己本身都在指定的集中。
4. Supremum and Infimum
Supremum
Least Upper Bound.
Infimum
Greatest Lower Bound.
暫別我們的符號遊戲，我們使用常用的實數線來表達 Supremum, Upper Bound 與Maximum 的分別。如下圖：
反證法
假設☻←γ ，且β←α 則 β♥γ←α♥γ ...(*)
因此
☻←γ
☻♥☻←☻♥γ ................(*)
☻←☻............................(2)
因此若☻←γ，則「β←α 則 β♥γ←α♥γ」無法成立。
2. Bounds
Upper Bounds
設￠為╳之中的一個子集。如果於￠中的任意符號α 全部符合
α→ζ，或
α = ζ
那麼符號ζ 就是￠的Upper Bound 。
Lower Bounds
設￡於╳之中的一個子集。如果於￡中的任意符號β 全部符合
β→ε，或
β = ε
那麼符號ε 就是￡的Lower Bound 。
3. Maximum and Minimum
Maximum
設￠為╳之中的一個子集。如果ζ 在￠之中且
α→ζ，或
α = ζ
那麼符號ζ 就是￠的Maximum。
Minimum
設￡於╳之中的一個子集。如果ε 在￡之中且
β→ε，或
β = ε
那麼符號ε 就是￡的Minimum。
到底 (2) 跟 (3) 的分別在哪呢？
在於 Max/Min 的符號需要自己本身都在指定的集中。
4. Supremum and Infimum
Supremum
Least Upper Bound.
Infimum
Greatest Lower Bound.
暫別我們的符號遊戲，我們使用常用的實數線來表達 Supremum, Upper Bound 與Maximum 的分別。如下圖：
留意Maximum 並不存在，因為數線本身並不包含最大的一點 (是一個Open Interval )。
